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La base naturelle $\mathbf{e}_i$ associée à un système de coordonnées $x i$ permet d'écrire un élément de longueur infinitésimal sous la forme

$dl = \sum_i dx^i \mathbf{e}_i$

On a donc

$\mathbf{e}_i = \frac{\partial l}{\partial x^i}$

Remarques

La lettre l étant muette, on voit parfois écrit $\mathbf{e}_i = \frac{\partial}{\partial x^i}$ , avec le risque de confusion avec l'opérateur dérivation.

Sauf dans le cas d'un repère cartésien, la base naturelle varie d'un point à un autre. Chaque vecteur $\mathbf{e}_1$ , $\mathbf{e}_2$ , etc. est en fait un champ de vecteurs.

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Calcul tensoriel/Poubelle/Base naturelle