Arithmétique/Exercices/Divers

Exercice 11-1

1. Trouver tout les entiers strictement positifs $a$, $b$, $x$, $y$ tels que ${\frac {a+x}{b+y}}={\frac {a}{b}}$.
2. Calculez $x$ et $y$ lorsque $a=3$, $b=4$, $x+y=343$.

Solution

1. ${\frac {a+x}{b+y}}={\frac {a}{b}}\Leftrightarrow bx=ay$.
2. $4x=3(343-x)\Leftrightarrow x={\frac {3\times 343}{7}}=147$, d'où $y=343-147=196$.

 

Exercice 11-2

1. Vérifier que pour tout réel $x$, $x(x+1)(x+2)(x+3)=(x^{2}+3x+1)^{2}-1$.
2. Trouvez quatre entiers consécutifs dont le produit est $73\,440$.

Solution

1. Le polynôme $(x^{2}+3x+1)^{2}-1$ (unitaire et de degré 4) s'annule pour $x^{2}+3x+1=1$ (c'est-à-dire $x=0$ ou $-3$) ou $x^{2}+3x+1=-1$ (c'est-à-dire $x=-1$ ou $-2$).
2. $(x+3/2)^{2}-5/4=x^{2}+3x+1=\pm {\sqrt {73\,441}}=\pm 271\Leftrightarrow (x+3/2)^{2}=271+5/4\Leftrightarrow 2x+3=33^{2}\Leftrightarrow x={\frac {-3\pm 33}{2}}$.

   $(-18)(-17)(-16)(-15)=15\times 16\times 17\times 18=73\,440$.

 

Exercice 11-3

Un nombre qui, dans le système décimal, s'écrit avec quatre chiffres identiques, peut-il être un carré parfait ?

Solution

Non car un tel nombre (ou même un nombre qui s'écrit ${\overline {abab}}$) est multiple de $101$, qui est premier et dont le carré a $5$ chiffres.

 

Exercice 11-4

Trouvez un nombre de quatre chiffres qui est un carré parfait et qui est tel que, lorsqu'on augmente chacun de ses chiffres d'une unité, on obtient encore un carré parfait.

Solution

Si $n^{2}={\overline {abcd}}=10^{3}a+10^{2}b+10c+d$ (avec $a,b,c,d\in \{0,1,\dots ,8\}$) et $m^{2}=10^{3}(a+1)+10^{2}(b+1)+10(c+1)+d$ alors $(m-n)(m+n)=m^{2}-n^{2}=1111=11\times 101$ donc $m-n=11$ et $m+n=101$, donc $n=45$. Vérification : $45^{2}={\overline {2025}}$ et ${\overline {3136}}=56^{2}$.

 

Exercice 11-5

a et b sont deux entiers tels que a² + 2b est un carré parfait.

1. Démontrer que 2b est le produit de deux nombres pairs.
2. Démontrer que a² + b est une somme de deux carrés entiers.

Solution

1. $a^{2}+2b=c^{2}\Rightarrow 2b=c^{2}-a^{2}=(c+a)(c-a)$. Les deux entiers $c+a$ et $c-a$ ont même parité et leur produit est pair donc ils sont pairs.
2. Soient $u={\frac {c+a}{2}}$ et $v={\frac {c-a}{2}}$, alors $a^{2}+b=(u-v)^{2}+2uv=u^{2}+v^{2}$.

 

Exercice 11-6

Démontrer qu'un entier congru à 7 modulo 8, ne peut pas être égal à la somme de trois carrés.

Solution

Modulo 8, tout carré est congru à 0, 1 ou 4 donc une somme impaire de trois carrés est congrue à 1, 3 ou 5.

 

Exercice 11-7

Trouvez, s'ils existent, les chiffres $a$ et $b$ tels que le nombre qui s'écrit ${\overline {aabb}}$ dans le système décimal est un carré parfait.

Solution

${\begin{aligned}{\overline {aabb}}=11(100a+b)=11^{2}c^{2}&\Leftrightarrow 11c^{2}=100a+b=99a+(a+b)\\&\Leftrightarrow a+b=11\quad {\text{et}}\quad c^{2}=9a+1\\&\Leftrightarrow c\equiv \pm 1\mod 9,\quad a={\frac {c^{2}-1}{9}}\quad {\text{et}}\quad b=11-a\\&\Leftrightarrow c=8,\quad a=7\quad {\text{et}}\quad b=4.\end{aligned}}$

 

Exercice 11-8

Démontrer que si un entier est divisible par n entiers premiers entre eux deux à deux, alors il est divisible par leur produit.

Solution

On peut raisonner par récurrence sur n. Pour un seul diviseur, c'est immédiat. Supposons que c'est vrai pour n diviseurs et montrons que ça l'est encore pour n + 1 diviseurs. Soient donc $a_{0},\dots ,a_{n}$, entiers premiers entre eux deux à deux et divisant un entier $b$. Puisque $a_{0}$ divise $b$, il existe un entier $c$ tel que $b=a_{0}c$. Et puisque $a_{1},\dots ,a_{n}$ divisent $a_{0}c$ et sont premiers avec $a_{0}$, ils divisent $c$ (d'après le théorème de Gauss) donc (par hypothèse de récurrence) leur produit $a_{1}\dots a_{n}$ divise $c$, si bien que $a_{0}a_{1}\dots a_{n}$ divise $a_{0}c=b$.