Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Continuité

Une page de Wikiversité.
Aller à : navigation, rechercher
Continuité
Image logo représentative de la faculté
Exercices no1
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
Chapitre du cours : Continuité

Ces exercices sont de niveau 14.

Exo préc. : Sommaire
Exo suiv. : Inégalités
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Continuité
Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Continuité
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Soient et une application continue.

On suppose que admet des limites (finies ou infinies) en et  :

.

Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que atteint toutes les valeurs strictement comprises entre et .

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que si et sont finies, alors est bornée.

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

On suppose que (finie ou infinie).

1) Montrer que si prend au moins une valeur strictement inférieure à cette limite (par exemple si ), alors admet un minimum.

Conseil : Rien ne vaut un bon schéma. Il faut alors utiliser la définition de la limite et…

2) En déduire que (sans cette dernière hypothèse) admet un extremum.

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

On pose :

.

1) Redémontrer le résultat de l'exercice 2 en prolongeant par continuité la fonction .

2) Redémontrer le résultat de l'exercice 1 en prolongeant par continuité la fonction .

3) Redémontrer les résultats de l'exercice 3 à l'aide du même prolongement de .

Référence[modifier | modifier le wikicode]

Les exercices 1, 2 et 3 sont partiellement inspirés de l'exercice 12.6 p. 327 de Sylvain Gugger, Maths PTSI, Dunod, coll. « J'assure aux concours », 2016 et de son corrigé p. 335-336, ainsi que de la page 324.