Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement

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Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement
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Chapitre no 13
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple
Chap. suiv. :Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Puissance et travail d'une force
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Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement
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Dans tout ce chapitre on se place dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Sommaire

Contact d’un solide sur un autre dans le cas de « liaisons unilatérale ou bilatérale avec frottement »[modifier | modifier le wikicode]

......Introduit une 1ère fois dans le paragraphe «~3ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un solide, liaisons unilatérale ou bilatérale, idéale (c.-à-d. sans frottement) ou non idéale (c.-à-d. avec frottement)~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».

Rappel : liaisons unilatérale ou bilatérale d’un solide sur un autre[modifier | modifier le wikicode]

......Introduit une 1ère fois dans le paragraphe «~notions de liaisons unilatérale et bilatérale~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».

Liaison unilatérale[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi «~liaison unilatérale~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».

......Le solide en contact éventuel avec le solide support peut être

  • en contact effectif, dans ce cas exerce des forces de contact sur de résultante appelée «~réaction de sur » [1], cette dernière étant dirigée de vers ou
  • «~au-dessus de » [2] sans point de contact avec lui, dans ce cas «~la réaction de sur » [1] est nulle.

Liaison bilatérale[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi «~liaison bilatérale~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».

......Le solide est toujours en contact avec le solide support plus précisément constitué de deux solides supports « et » guidant le solide , l'un ou l'autre des solides supports de part et d'autre de exerçant sur lui des forces de contact de résultante appelée «~réaction de sur » [1] pouvant avoir n'importe quelle direction (et même être nulle).

Rappel : composantes normale et tangentielle de la réaction du support solide sur le système indéformable étudié[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi «~composante normale de réaction et force de frottement solide~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».

......Définissant un vecteur unitaire normal au(x) support(s) solide(s) défini au «~point d’application de la réaction de sur » [3], point que nous appellerons par la suite «~point de contact~» [4], le sens de étant choisi usuellement «~vers l'extérieur du support solide en cas de liaison unilatérale~» et dans un «~sens arbitraire en cas de liaison bilatérale~», nous notons :

  • la projection de sur la normale, soit est appelée «~composante normale de la réaction~» et
  • la projection de sur le plan tangent à au point de contact, soit [5], où [5] est appelée «~composante tangentielle de la réaction~» (ou encore «~force de frottement solide~») ;
on peut alors écrire avec
en liaison unilatérale et
de signe quelconque (voir nulle) en liaison bilatérale.

Rappel : « liaison avec frottement solide »[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi «~notions de liaisons idéale (ou sans frottement) et non idéale (ou avec frottement)~» [6] du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».

......La puissance développée par la réaction que exerce sur dans un référentiel lié à s’écrit, avec point d'application de , selon [7] ;

......or car en cas de non glissement de sur et, en cas de glissement, dans le plan tangent à en donc à d’où finalement la puissance développée par la réaction que exerce sur dans un référentiel lié à se réécrit, avec point d'application de , selon

[8].

......On dit que la liaison est «~avec frottement~» ou «~non idéale~» ou encore «~non parfaite~» si

  • en envisageant diverses situations de repos de , on en trouve au moins une où est et
  • dans tous les états de translation de , est toujours  ;

......on dit que la liaison est «~avec frottement~» (ou «~non idéale~»)~ ou ce qui est équivalent si

  • il existe des cas de repos de est au plan tangent de en [9] et
  • dans l’hypothèse de translation de , est toujours au plan tangent de en .

......Il est encore équivalent de définir une liaison «~avec frottement~» ou «~non idéale~» ou encore «~non parfaite~» comme une liaison telle que en cas de mouvement de translation de sur .

Énoncé des lois empiriques de « Coulomb » du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre et dans celui de glissement, cœfficients de frottement statique et dynamique caractérisant le contact[modifier | modifier le wikicode]

Rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi «~loi de frottement solide sans glissement de Coulomb [10]~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».

......Le solide est donc au repos sur le support solide avec, a priori, «~présence d'une force de frottement solide~» [11] et absence de glissement ;

......si une force tend à faire glisser sur tangentiellement à ce dernier suivant [12], le support solide réagit en exerçant sur une force de frottement solide s’opposant à la mise en mouvement, c.-à-d. de même direction mais de sens contraire à  ;

comme il n'y a pas glissement, soit
en choisissant le vecteur unitaire tangentiel du plan tangent à au point de contact suivant la direction et le sens de [13],
c.-à-d. tel que avec et est la valeur algébrique de la «~force de frottement solide~» [14],
on déduit, de la condition de non glissement,  ;

......si on fait , on en déduit que est telle que mais ne peut indéfiniment, il existe donc une valeur de à partir de laquelle le glissement s'amorcera, cette force seuil définissant le «~seuil d'adhérence de sur » ;

......parallèlement la composante normale de la réaction s’oppose à la pénétration de dans [15], la force tendant à la pénétration étant appelée «~force pressante de sur » et notée [16] ;

comme il n'y a pas pénétration, soit
en choisissant le vecteur unitaire normal au plan tangent à au point de contact dans le sens contraire de si le sens de ne varie pas ou
~en choisissant le vecteur unitaire normal n au plan tangent à (Σ) au point de …~de sens a priori arbitraire si le sens de peut varier [17]
et, en posant quel que soit le sens choisi pour [18] ainsi que est la «~réaction normale au support~»,
on déduit, de la condition de non pénétration, avec,
dans le cas où le sens de est choisi de sens contraire à quand le sens de ne varie pas, ou,
dans le cas où le sens de est arbitraire, si le sens de [19] est contraire au sens de et
~dans le cas où le sens de ~n~ est arbitraire, si le sens de [19] est dans le sens de  ;~contraire

......supposant que la force tendant à faire glisser sur tangentiellement à ce dernier ne modifie pas la force pressante de sur [20], la « de à constant~» [21] entraîne une « de à constant~» [22] et un «~démarrage du glissement pour une valeur critique de à constant~», «~le rapport de cette valeur critique sur » définissant le «~cœfficient de frottement statique~» noté soit

sans unité et dépendant de l'adhérence de sur encore égal à [23].
Début d’un théorème


Fin du théorème

Rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas effectif de glissement[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi «~loi de frottement solide avec glissement de Coulomb [10]~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».

......Le solide a donc été mis en mouvement sur le support solide par l'action d'une force tangentielle suffisante pour faire glisser sur suivant [24], le support solide réagissant en exerçant sur en plus de la composante normale de la réaction [25] une «~force de frottement solide s'opposant au mouvement~» c.-à-d. de même direction et de sens contraire à  ;

......lors du glissement «~le rapport de sur reste constant~» [26], cette constante positive définissant le «~cœfficient de frottement dynamique~» noté et qui est toujours inférieure au cœfficient de frottement statique soit

quand il y a glissement sans unité et dépendant de la nature des deux solides en présence
avec sans unité et dépendant de l'adhérence de sur encore égal à [27].

......Remarque : pour que le glissement démarre il est nécessaire de soit à ,
......Remarque : mais une fois le glissement amorcé peut devenir à sans que le glissement cesse ;
......Remarque : par contre si ce dernier s'arrête, il faudra de nouveau que soit à pour qu'il redémarre.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Approximation usuelle sur les cœfficients de frottement statique et dynamique[modifier | modifier le wikicode]

......Comme on l'a affirmé précédemment le cœfficient de frottement dynamique est toujours inférieur au cœfficient de frottement statique soit

mais,

......dans les cas les plus fréquents, ces cœfficients restant proches, on peut alors « les confondre » [28], [29] et, dans ce cas, usuellement on pose

.

Étude du démarrage du glissement d'un système indéformable sur un support solide dans le cas où les cœfficients de frottement statique et dynamique sont suffisamment distincts[modifier | modifier le wikicode]

......Supposons le solide reposant initialement sur le plan support horizontal et que l'on cherche à faire glisser le solide le long d'un axe horizontal du plan support dans le sens de cet axe en exerçant sur une force horizontale dirigée dans le sens de l'axe  ;

......sur s'exercent trois forces [30] :

  • le poids de comme cette force est à elle s'identifie à la force pressante tendant à la pénétration de dans soit vertical descendant on choisit alors , le vecteur unitaire normal à , dans le sens vertical ascendant pour que le sens de soit dans le sens contraire de la force pressante et par suite se réécrit avec ,
  • la force s'exerçant tangentiellement à , plus exactement le long de l'axe horizontal dans le sens on choisit alors , le vecteur unitaire tangentiel à , dans le sens de pour que le sens de soit dans le sens de l'éventuel glissement et par suite avec et
  • la réaction de sur de composantes normale et tangentielle encore appelée force de frottement solide ;

......la composante normale de la réaction compensant le poids nous en déduisons et,

......tant que la force n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, il n'y a pas glissement, la composante tangentielle de la réaction compense alors d'où en accord avec le fait que la force de frottement solide est dans le sens contraire du glissement possible ; l'absence de glissement nécessite, selon la loi empirique de Coulomb [10] de frottement solide sans glissement, que [31] soit encore d'où la force motrice critique permettant la mise en mouvement de est de norme .

......Soit l'instant où atteint cette valeur critique qu'elle garde par la suite, le glissement commençant dès avec la composante normale de la réaction compensant toujours le poids de soit [32] et la composante tangentielle de la réaction déterminée par la loi empirique de Coulomb [10] de frottement solide avec glissement soit [31] ou encore avec la force de frottement solide étant toujours dans le sens contraire du glissement effectif, la projection sur du théorème du C.D.I. [33] appliquée à nous conduit à ou, sachant que et , l'équation différentielle du mouvement de glissement de se réécrit soit finalement, une accélération horizontale constante pour égale à  ;

......ainsi, bien que l'on ait imposé la force minimale pour la mise en mouvement, le solide a acquis une accélération non nulle dès , d'autant plus grande que la différence des cœfficients de frottement statique et dynamique l'est le solide subit donc une accélération possédant une discontinuité de 1ère espèce [34] à l'instant du démarrage.

Angles limites de frottement statique et dynamique, autres énoncés des lois empiriques de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre et dans celui de glissement[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi «~expressions empiriques des lois de frottement solide de Coulomb [10]~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».

Inclinaison de la réaction que le support solide exerce sur le système indéformable étudié relativement à la normale au support solide au point d’application de la réaction[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi «~loi de frottement solide sans glissement de Coulomb [10]~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».

......Notant [35] l'inclinaison de la réaction de sur relativement au vecteur unitaire normal à au point de contact de ce dernier avec , on en déduit

 ;

......dans le cas où on cherche à faire glisser sur à l'aide d’une force tangentielle dont on fait croître la norme à partir de la valeur nulle et

......tant que reste en équilibre, il y a compensation entre

  • la composante tangentielle de la réaction avec d'une part et
  • la composante normale ~... de la réaction avec la force pressante le plus souvent due au poids de d'autre part ;

......si reste constante réalisé si ne varie pas, l'angle simultanément avec la de , c.-à-d. que l'inclinaison de la réaction relativement à la normale à au point de contact simultanément à la de la norme de la force horizontale imposée dans le but de créer un glissement de sur

Angle limite de frottement statique et angle limite de frottement dynamique[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi «~loi de frottement solide sans glissement de Coulomb [10]~» et «~… avec glissement …~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».

......Tant que la norme de la force tentant de créer un glissement de sur n'a pas atteint sa valeur critique correspondant au seuil d’adhérence, l'équilibre de sur perdure ;

......dans ce cas l'inclinaison de la réaction relativement à la normale à au point de contact est inférieure à une inclinaison limite définissant l'«~angle limite de frottement statique~» noté , donnant donc la condition de non glissement suivante

,

......le lien existant entre l'angle limite de frottement statique et le cœfficient de frottement statique étant ou, en inversant .

......Pour que la mise en mouvement de se produise, il faut que l'inclinaison de la réaction relativement à la normale à au point de contact atteigne la valeur limite et,

......dès que le glissement commence, l'inclinaison de la réaction relativement à la normale à au point de contact chute à une nouvelle inclinaison limite définissant l'«~angle limite de frottement dynamique~» noté , donnant donc la condition de glissement suivante

,

......le lien existant entre l'angle limite de frottement dynamique et le cœfficient de frottement dynamique étant [36] ou, en inversant .

Autre énoncé de la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

Autre énoncé de la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas effectif de glissement[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

Notion de cône limite de frottement statique et de cône limite de frottement dynamique[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi «~loi de frottement solide sans glissement de Coulomb [10]~» et «~… avec glissement …~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».

......Dans la mesure où reste en équilibre sur , la réaction de sur étant inclinée relativement à la normale à en son point d’application d'un angle non orienté avec angle limite de frottement statique, «~reste strictement à l'intérieur d'un cône de révolution de sommet , d’axe “la normale à en ” et de demi-angle au sommet », cône appelé «~cône limite de frottement statique~» et caractérisant l’adhérence de sur en .

......Dans la mesure où glisse sur , la réaction de sur étant inclinée relativement à la normale à en son point d’application d'un angle non orienté avec angle limite de frottement dynamique, «~reste sur un cône de révolution de sommet , d’axe “la normale à en ” et de demi-angle au sommet », cône appelé «~cône limite de frottement dynamique~» et caractérisant le collé relativement au glissé de sur en .

......De on déduit que le cône limite de frottement dynamique est inclus dans celui de frottement statique, la mise en mouvement se traduisant par le passage instantané de la réaction de sur de la surface du cône limite de frottement statique [39] à celle du cône limite de frottement dynamique en restant dans un même demi-plan méridien ;

......lors d'un démarrage il y a donc un léger redressement instantané de , l'inclinaison de cette dernière restant constante par la suite.

......Remarque : dans les cas les plus fréquents où on peut confondre et , de valeur commune notée et simplement appelée «~angle limite de frottement~», cet angle limite étant lié au cœfficient de frottement solide par , les deux cônes limites de frottement statique et dynamique se confondent également et le cône commun est simplement appelé «~cône limite de frottement~».

Méthode de traitement d’une liaison « unilatérale (ou bilatérale) » avec frottement[modifier | modifier le wikicode]

....... Faire l'hypothèse d'équilibre de sur ,

....... utiliser la C.N. [40] d’équilibre pour évaluer les composantes normale et tangentielle de la réaction [41] puis

....... valider (ou non) l’hypothèse d'équilibre par vérification (ou non) de la loi empirique de Coulomb du frottement sans glissement d’un solide sur un autre ;

....... dans le cas où l’hypothèse d’équilibre ne serait pas vérifiée, le solide est alors en translation sur l'autre , faire l’hypothèse de glissement dans un sens,

....... utiliser la loi empirique de Coulomb du frottement avec glissement d’un solide sur un autre pour exprimer la norme de la composante tangentielle de la réaction en fonction de celle de la composante normale puis

....... ~utiliserle théorème du mouvement du C.D.I. [33] pour en déduire, en tenant compte des C.I. [42] la vitesse de glissement du solide sur dans les cas usuels où est plan, la norme de la composante normale de la réaction [41] ne dépend pas de la vitesse de glissement, ce qui simplifie fortement la détermination de cette dernière mais, dans les cas où n'est pas plan, la norme de la composante normale de la réaction [41] dépendant de la vitesse de glissement, la détermination de cette dernière se complique et peut même nécessiter une résolution numérique par calculateur et enfin

....... valider (ou non) le sens du glissement on rappelle que la vitesse doit être de sens contraire à la composante tangentielle de la réaction ;

....... dans le cas où le sens de glissement ne serait pas le bon, refaire le traitement en inversant le sens du glissement

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0, 1,1 et 1,2 Il s'agit d'un abus usuellement utilisé pour parler de «~vecteur réaction»
  2. Plus précisément dans l’espace non occupé par .
  3. Le système des forces de contact que exerce sur est le plus souvent équivalent à une force unique égale à la résultante des forces de contact à condition d'appliquer cette force unique en un point bien choisi définissant le «~point d’application de la réaction de sur ».
  4. Ceci, bien sûr, n'ayant de signification que s'il y a contact effectif
  5. 5,0 et 5,1 Pour l’instant