Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques
Icône de la faculté
Chapitre no 7
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Propagation d'un signal : Battements
Chap. suiv. :Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques (PCSI) : Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques
Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

Observation stroboscopique d'une onde stationnaire sur une corde de Melde[modifier | modifier le wikicode]

Dispositif expérimental de l'observation d'ondes stationnaires par expérience de corde de Melde

La corde de Melde est une corde usuellement « horizontale » [1] tendue, longue de à , dont une de ses extrémités est reliée à un vibreur électrique alimenté par un « générateur B.F. » [2] et dont l'autre extrémité est fixe ou, après passage dans la gorge d'une poulie, retient un objet en suspension dans l'air, le poids de l'objet « créant la tension de la corde et étant suffisant pour que l'on puisse considérer que le point de contact de la corde sur la poulie reste fixe » [3] ;

cette expérience a été initiée par le physicien allemand « Franz Melde » dans le « courant du XIXe siècle » [4] et a mis en évidence l'existence d'ondes stationnaires produites sur une corde de Melde c.-à-d. tendue et reliée à un vibreur électrique.

Pour une longueur de corde ni « trop longue » [5] ni « trop courte » [6], on a superposition de l'onde incidente créée par le vibreur « se propageant de la gauche vers la droite » et d'une première onde « réfléchie sur la poulie quasi-fixe » « se propageant de la droite vers la gauche » [7].

On observe, en éclairage normal (voir ci-dessous à gauche) :

  • des points de la corde ne vibrant pas (appelés nœuds de vibration) et
  • entre ces points, des fuseaux de vibration correspondant à des points vibrant en phase avec une amplitude de vibration plus ou moins grande,
  • les points ayant une amplitude de vibration maximale (appelés ventres de vibration) étant au milieu des fuseaux.

En éclairage stroboscopique avec une fréquence égale à celle du vibreur (voir ci-dessous à droite), on voit la corde « apparemment immobile » et quand on choisit une fréquence voisine de celle du vibreur, on perçoit alors la corde en mouvement apparent très lent ; on constate que :

  • les points d'un même fuseau vibrent en phase alors que,
  • les points situés de part et d'autre d'un nœud vibrent en opposition de phase ;

......ces dernières propriétés justifient le qualificatif « stationnaire » donné à l'onde car la phase s'écrit ne dépend pas explicitement de [8] contrairement à une onde « progressive » où la phase est avec .

Caractérisation d'une onde sinusoïdale stationnaire par l'absence de propagation, notion de nœuds et de ventres[modifier | modifier le wikicode]

Comme on l'a vu au paragraphe précédent une onde sinusoïdale est stationnaire si la phase s'écrit avec ne contenant pas le terme caractéristique d'une propagation.

Définition d'une onde sinusoïdale stationnaire dans un milieu unidimensionnel (linéaire)[modifier | modifier le wikicode]


Détermination de la position des nœuds[modifier | modifier le wikicode]

Chaque nœud est caractérisé par , c.-à-d. soit, en utilisant et après quelques simplifications élémentaires,  ; on en déduit donc que :


Détermination de la position des ventres[modifier | modifier le wikicode]

Chaque ventre est caractérisé par , c.-à-d. soit, en utilisant et après quelques simplifications élémentaires,  ; on en déduit donc que :


Établissement de la propriété de phase des points d'un même fuseau[modifier | modifier le wikicode]

Les points situés entre les nœuds et , sont d'abscisses tels que ou, en explicitant les abscisses des nœuds, ce dont on tire, pour , l'encadrement suivant et par suite on peut en déduire le signe de selon la parité de  :

  • si est impair, est , l'amplitude de vibration du point s'écrit alors et la phase initiale étant (pour tous les points de cet intervalle) , les points de ce fuseau vibrent tous en phase ;
  • si est pair ou nul, est , l'amplitude de vibration du point s'écrit alors , ce qui permet de déterminer la phase initiale (pour tous les points de cet intervalle) égale à [10] et par suite d'affirmer que les points de ce fuseau vibrent tous en phase.


Établissement de la propriété d'opposition de phase des points de part et d'autre d'un même nœud[modifier | modifier le wikicode]

Les points situés de part et d'autre du nœud , , sont d'abscisses telles que c.-à-d. pour les premiers et seconds respectivement correspondant à un changement de signe donc à des vibrations en opposition de phase en effet :

  • si est impair, les points situés à droite du nœud étant tels que est , vibrent en phase entre eux avec une phase initiale et
    si .|m|. est impair, les points situés à gauche du nœud étant tels que est vibrent en phase entre eux avec une phase initiale  » [10] soit en opposition de phase avec les précédents ;
  • si est pair ou nul, les résultats concernant la phase initiale sont inversés, c.-à-d. : les points situés à droite du nœud étant tels que est , vibrent en phase entre eux avec une phase initiale [10] et
    si .|m|. est pair ou nul, les résultats concernant la phase initiale sont inversés, c.-à-d. : les points situés à gauche du nœud étant tels que est vibrent en phase entre eux avec une phase initiale soit en opposition de phase avec les précédents.


Interprétation par superposition d'une onde incidente progressive sinusoïdale émise par une extrémité et de l'onde réfléchie sur l'autre extrémité supposée fixe[modifier | modifier le wikicode]

Schéma explicatif pour traiter la superposition, sur une corde de Melde, d'une onde incidente progressive sinusoïdale émise par une extrémité et de l'onde réfléchie sur l'autre extrémité fixe

On considère une onde incidente progressive sinusoïdale créée par le vibreur en , de fréquence , d'amplitude correspondant à une élongation transversale [11], se propageant dans le sens des avec un vecteur d'onde est la pulsation spatiale et étant respectivement la célérité de propagation et la longueur d'onde de l'onde incidente d'où l'expression de l'onde incidente au point d'abscisse et à l'instant ou soit encore  ;

......arrivant en d'abscisse , l'onde incidente n'étant pas identiquement nulle se réfléchit de façon à ce que l'onde résultante en le soit c.-à-d. qu'il se crée, en , une perturbation réfléchie , perturbation qui se propage dans le sens des [12] avec un vecteur d'onde est la même pulsation spatiale ; on en déduit l'expression de l'onde réfléchie au point à l'instant [13] soit encore et finalement  ;

......l'onde résultante en d'abscisse et à la date s'écrivant , peut être obtenue par emploi des formules de trigonométrie, par construction d'un diagramme de Fresnel ou par utilisation des amplitudes complexes associées aux grandeurs instantanées complexes.

Détermination de l'onde résultante par emploi des formules de trigonométrie[modifier | modifier le wikicode]

, soit, en utilisant [14], , et finalement l'expression de l'onde résultante en d'abscisse et à l'instant peut être écrite selon

[15] ;

......on reconnaît une onde stationnaire sinusoïdale et on peut préciser les trois constantes , et à condition d'utiliser soit
...... montrant que , indépendant de et indépendant de .

Détermination de l'onde résultante par utilisation des amplitudes complexes associées aux grandeurs instantanées complexes[modifier | modifier le wikicode]

À l'onde incidente progressive sinusoïdale on associe la grandeur instantanée complexe est l'amplitude complexe de l'onde incidente ;

......de même à l'onde réfléchie sur la poulie on associe la grandeur instantanée complexe est l'amplitude complexe de l'onde réfléchie ;

......à l'onde résultante on associe la grandeur instantanée complexe avec une amplitude complexe s'obtenant par ce qui donne, en factorisant par [16] de façon à pouvoir utiliser la « formule d'Euler relative au sinus » [17] soit encore ou finalement, [18] ;

......la grandeur instantanée complexe associée à l'onde résultante se réécrit alors selon l'expression correspondant à l'onde résultante [19] qui peut être réécrite sous la forme finale

.

Détermination de l'onde résultante par diagramme de Fresnel[modifier | modifier le wikicode]

Diagramme de Fresnel résolvant la superposition, sur une corde de Melde, d'une onde incidente progressive sinusoïdale émise par une extrémité et de l'onde réfléchie sur l'autre extrémité fixe

On représente le vecteur de Fresnel associé à l'onde incidente au point et à l'instant [20] de norme et faisant l'angle avec l'axe de référence et le vecteur de Fresnel associé à l'onde réfléchie au point et à l'instant soit  de norme , faisant l'angle avec le même axe de référence  (voir diagramme ci-contre) ;

......construisant la somme de ces deux vecteurs de Fresnel par « règle du parallélogramme » [21] on obtient le vecteur de Fresnel au point et à l'instant associé à l'onde résultante  :

  • faisant l'angle  avec « si la détermination principale de est aigüe » [22] et
    faisant l'angle  avec « si la détermination principale de est obtuse » [23]
  • et dont la norme se détermine par soit finalement [24] ;

......dans les deux cas considérés le signal résultant peut être écrit ou, en remplaçant et par leurs expressions [25].

Conditions de résonance de l'onde stationnaire sinusoïdale, modes propres associés, lien entre fréquences propres, célérité et longueur de la corde[modifier | modifier le wikicode]

Observation du phénomène de résonance sur une corde de Melde de tension et de longueur fixées lorsqu'on fait varier la fréquence de la vibration imposée[modifier | modifier le wikicode]

Dans la mesure où le point de contact de la corde avec la poulie peut être considéré comme fixe, la tension de la corde est égale au poids de l'objet de masse suspendu à la corde soit  : par exemple une masse avec correspond à une tension  ;
......si on utilise une corde de masse linéique [26] par exemple une corde en nylon , on démontre que la célérité de propagation sur cette corde s'écrit [27] et ainsi, pour une tension de corde fixée, la célérité l'est aussi :
......avec les valeurs précédentes on trouve .

......Réglant une longueur de corde entre le vibreur et la poulie, par exemple , et faisant croître la fréquence de vibration, on observe successivement :

Vibrations d'une corde de Melde dans ses modes propres associés à ses fréquences propres
  • à partir de des ondes stationnaires sinusoïdales à un fuseau avec une « amplitude au ventre qui devient maximale » [28] pour puis qui décroît avec « estompage » du phénomène d'ondes stationnaires ;
  • aux alentours de un nouveau système d'ondes stationnaires sinusoïdales à deux fuseaux s'installe avec une « amplitude au ventre qui devient maximale » pour puis qui décroît avec « évaporation » du phénomène d'ondes stationnaires ;
  • aux alentours de de nouveau un système d'ondes stationnaires sinusoïdales mais à trois fuseaux apparaît avec une « amplitude au ventre qui devient maximale » pour puis qui décroît avec « assèchement » du phénomène d'ondes stationnaires ;
  • aux alentours de un nouveau système d'ondes stationnaires sinusoïdales à quatre fuseaux se révèle avec une « amplitude au ventre qui devient maximale » pour puis qui décroît avec « tarissement » du phénomène d'ondes stationnaires ;
  • etc on observe ainsi l'apparition d'un phénomène de résonance des ondes stationnaires sinusoïdales à un nombre de plus en plus grand de fuseaux pour des fréquences de plus en plus grandes par exemple une résonance des ondes stationnaires sinusoïdales à fuseaux avec pour une fréquence  ;

......toutes ces fréquences correspondent aux « fréquences propres » [29] de vibration de la corde, la forme correspondante de cette dernière pour une fréquence propre donnée définissant le « mode propre » de vibration associé à cette fréquence propre. 

Interprétation du phénomène de résonance sur une corde de Melde de tension et de longueur fixées pour des fréquences particulières[modifier | modifier le wikicode]

......Le vibreur crée une onde progressive sinusoïdale « incidente » se propageant dans le sens des , qui se réfléchit sur la poulie engendrant une onde progressive sinusoïdale « réfléchie » se propageant dans le sens des considérée de même amplitude que l'onde incidente ; la superposition de ces deux ondes et [à l'exclusion de toutes autres] donne un système d'ondes stationnaires sinusoïdales dont l'amplitude de vibration aux ventres est [30] avec amplitude de vibration du vibreur [31] ;

......s'il n'y avait que ces deux ondes il serait impossible d'expliquer le phénomène de résonance du système d'ondes stationnaires sinusoïdales mais

......dans la réalité, l'onde « réfléchie » sur la poulie se réfléchit de nouveau sur le vibreur donnant une onde progressive sinusoïdale « réfléchie » se propageant dans le sens des , déphasée par rapport à l'onde « incidente » de la quantité [32], cette dernière onde se réfléchissant à son tour sur la poulie en une onde se propageant dans le sens des , déphasée par rapport à [la première onde réfléchie sur la poulie] de  ; la superposition de ces deux ondes et donne un nouveau système d'ondes stationnaires sinusoïdales dont l'amplitude de vibration aux ventres est encore avec amplitude de vibration du vibreur mais

......le système d'ondes stationnaires sinusoïdales étant déphasé relativement au précédent de [33], la superposition de ces deux systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales et , bien que correspondant aux « mêmes positions de ventres et de nœuds » [34], ne donne a priori pas des interférences constructives ;

......on peut poursuivre le raisonnement en considérant l'onde « la réfléchie de l'onde sur le vibreur » se propageant dans le sens des et déphasée par rapport à l'onde « incidente » de ainsi que l'onde « la réfléchie de l'onde sur la poulie » se propageant dans le sens des et déphasée par rapport à l'onde « réfléchie » de , puis le système d'ondes stationnaires sinusoïdales correspondant à la superposition de et dont l'amplitude de vibration aux ventres est toujours avec amplitude de vibration du vibreur mais ce système étant déphasé relativement aux deux précédents de , la superposition de ces trois systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales , bien que correspondant aux « mêmes positions de ventres et de nœuds », ne donne a priori pas des interférences constructives et

......ainsi de suite ce qui fait que dans le cas général, on observe des ondes stationnaires sinusoïdales d'amplitude aux ventres modérée ;

......toutefois, si la fréquence est telle que les interférences entre les divers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales sont « constructives » [35], les amplitudes de vibration en un point donné s'ajoutent, donnant une amplitude de vibration aux ventres « très grande » [36] d'où un phénomène de résonance.

Conditions de résonance (c'est-à-dire conditions d'interférences constructives des divers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales)[modifier | modifier le wikicode]

Un point de la corde vibrant selon le premier système d'ondes stationnaires sinusoïdales avec [37] comme phase initiale,
Un point .M. de la corde vibrant selon le second système d'ondes stationnaires sinusoïdales avec [38] comme phase initiale et
Un point de la corde vibrant selon le ne système d'ondes stationnaires sinusoïdales avec [39] comme phase initiale, on observera des interférences constructives entre ces divers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales si le déphasage « mathématique » entre deux d'entre eux est un multiple de ou, compte-tenu de la périodicité de l'augmentation de phase initiale, si [40] ou ou encore, avec , si c.-à-d. si la différence de marche est un multiple de soit enfin , ce que l'on interprète de la façon suivante :


......Les longueurs d'onde pour lesquelles il y a résonance sont donc liées à la longueur de la corde selon (ce qui définit les longueurs d'onde de résonance) et, celles-ci étant liées à la fréquence selon , on en déduit les fréquences de vibration pour lesquelles il y a résonance soit des fréquences de résonance égales à correspondant encore aux fréquences propres de vibration de la corde [29] ;

......ces dernières sont donc un multiple de la fréquence de résonance « fondamentale » (correspondant encore à la fréquence propre « fondamentale » [29]) dans l'expérience à laquelle est associé le mode propre « fondamental » de la corde (à un fuseau), la fréquence de résonance (correspondant aussi à une fréquence propre [29]) étant associé au « mode propre de la corde » à n fuseaux.

Caractérisation d'une résonance par quantification de la fréquence[modifier | modifier le wikicode]

Dans l'exemple du phénomène de résonance des ondes stationnaires sinusoïdales le long de la corde de Melde, on impose une excitation de fréquence variable et on regarde la réponse de la corde de Melde, de tension et de longueur fixées, à cette excitation, réponse sous forme d'ondes stationnaires sinusoïdales de même fréquence que l'excitation ; on remarque alors que la réponse de la corde « entre en résonance » pour des fréquences excitatrices « quantifiées », les fréquences de résonance multiples d'une fréquence caractéristique de la corde appelée fréquence propre « fondamentale » égale à , cette dernière dépendant uniquement de la célérité de propagation le long de la corde et de sa longueur ;
......on a donc les fréquences de résonance suivantes , la ne valeur définissant la fréquence propre « de rang n » [41].



Décomposition en modes propres d'une vibration le long d'une corde fixée aux deux extrémités, application aux instruments de musique à cordes[modifier | modifier le wikicode]

On considère maintenant une corde tendue entre ses deux extrémités maintenues « fixes » [42] et on crée une « perturbation de courte durée » [43] par exemple au milieu de la corde ;
......nous admettrons que cette perturbation quelconque initie des ondes progressives sinusoïdales de « fréquence quelconque » [44], chaque onde progressive initiée à une fréquence quelconque se propageant vers une des extrémités fixes de la corde, s'y réfléchit pour donner une première onde réfléchie se propageant dans l'autre sens, laquelle se réfléchit à son tour sur l'autre extrémité fixe pour donner une onde réfléchie se propageant dans le sens initial etc la superposition de ces ondes progressives synchrones de fréquence quelconque, de même amplitude, se propageant dans les deux sens, façonne des ondes stationnaires sinusoïdales de « fréquence quelconque » ;
......parmi toutes ces dernières seules celles respectant les C.A.L. de nœuds d'élongation aux extrémités vont subsister

Recherche des ondes stationnaires libres, notion de fréquences propres et de modes propres[modifier | modifier le wikicode]

Seules les ondes stationnaires sinusoïdales satisfaisant aux C.A.L. de nœuds d'élongation vont subsister, c.-à-d. que ne persisteront que les longueurs d'onde telles que ou ce qui correspond aux fréquences liées aux longueurs d'onde par soit définissant les « fréquences propres de la corde fixée à ses deux extrémités », étant la fréquence propre « fondamentale », la fréquence propre « de rang n » ;
......le « mode de vibration » [45] de la corde pour une fréquence propre fixée est appelé « mode propre » et le mode propre associé à la fréquence propre de rang n correspond à la présence de « n fuseaux ».

Remarque : Nous avons obtenu la condition de quantification sur les fréquences propres en écrivant que la longueur de la corde est un multiple de , cette dernière étant la longueur d'un fuseau, nous nous proposons de retrouver cette condition à partir de la définition d'une onde stationnaire sinusoïdale en écrivant que les deux extrémités doivent être fixes :


Observation expérimentale[modifier | modifier le wikicode]

......Sans imposer d'autres conditions que celles des extrémités fixes, on observe préférentiellement le mode propre à un fuseau pour la fréquence propre  ;
......si on souhaite observer le mode propre à deux fuseaux pour la fréquence propre il faut l'initier en imposant un pincement de la corde au milieu de celle-ci, le resserrement devenant alors un nœud d'élongation,
......de même si on souhaite observer le mode propre à trois fuseaux pour la fréquence propre on l'initie en imposant un pincement de la corde à son tiers, la pression devenant un nœud d'élongation
......de même pour le mode propre à n fuseaux avec

Exemple numérique[modifier | modifier le wikicode]

Considérons une corde de guitare de masse volumique , de diamètre , de longueur et de tension , la célérité de propagation des ondes nécessite de déterminer au préalable la masse linéique de la corde [46] donnant numériquement dont on déduit la célérité de propagation selon  ;
......on en déduit la longueur d'onde du mode propre fondamental [47] ainsi que la fréquence propre fondamentale [48], les autres fréquences propres étant des multiples de cette dernière.

Mouvement général de la corde[modifier | modifier le wikicode]

La corde étant fixée à ses deux extrémités, elle oscillera en ondes stationnaires correspondant à une superposition linéaire de ses modes propres d'oscillations, l'onde stationnaire résultante étant « doublement périodique mais non sinusoïdale » [49] d'élongation transversale au point d'abscisse et à l'instant de la forme ou,
......en fonction des fréquences propres et des longueurs d'onde des modes propres associés , de la forme ou encore,
......en fonction des fréquence et longueur d'onde fondamentales ainsi que du rang des modes propres considérés, de la forme explicitant le caractère « doublement périodique » du signal, « temporel » de fréquence et « spatial » de période [50] ;

......si , , le son devient alors plus grave et

......si , et , le son devient plus aigu.

Distinction entre oscillations libres et oscillations forcées (ou entretenues)[modifier | modifier le wikicode]

On obtient des oscillations libres (et ces oscillations se font nécessairement à une fréquence propre de la corde) quand on crée une perturbation de courte durée et qu'on laisse osciller librement la corde ;

si on impose une excitation de fréquence fixée à une extrémité de la corde on obtient des oscillations forcées à la même fréquence que l'excitateur avec un phénomène de résonance quand la fréquence de l'excitateur est égale à une fréquence propre de la corde.

Généralisation aux autres instruments de musique[modifier | modifier le wikicode]

Il s'agit des instruments à vent, on modélise ces derniers à l'aide d'un tuyau sonore dans lequel l'air vibre, la grandeur vibrante à laquelle l'oreille humaine ou un microphone est sensible étant la surpression acoustique : on se propose de rechercher les modes propres d'oscillations de l'air dans le tuyau sonore suivant que ses deux extrémités sont ouvertes ou qu'une seule extrémité est ouverte.

Propriétés d'une extrémité d'un tuyau sonore suivant qu'elle est ouverte ou fermée[modifier | modifier le wikicode]

Une extrémité ouverte correspond à un nœud de surpression acoustique [51], on admettra qu'à un nœud de surpression acoustique correspond un ventre de déplacement des tranches d'air (c.-à-d. qu'une extrémité ouverte correspond à un maximum de déplacement des tranches d'air dans le tuyau) ;

une extrémité fermée correspond à un ventre de surpression acoustique [52], on admettra qu'à un ventre de surpression acoustique correspond un nœud de déplacement des tranches d'air (c.-à-d. qu'une extrémité fermée correspond à une impossibilité de déplacement des tranches d'air dans le tuyau).


Les deux extrémités étant ouvertes (exemple des orgues)[modifier | modifier le wikicode]

Les deux extrémités ouvertes correspondant chacune à un nœud de surpression acoustique, les ondes stationnaires sinusoïdales dans le tuyau obéissant aux C.A.L. sont telles que la longueur du tuyau doit être un multiple de

© Copyright Wikipedia authors - The articles gathered in this document are under the GFDL licence.
http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html